王景之（四川光大电子应用研究所  四川成都  610017）
    美国数学教授Michael W Ecker在《数学“黑洞”》一文中对卡普雷卡尔常数(Kaprekar,s constant)写道：取任何一个4位数（4个数字均为同一个数字的例外），将组成该数的4个数字重新组合成可能的最大数和可能的最小数，再将两者的差求出来；对此差值重复同样的过程（例如：开始时取数8028，最大的重新组合数为8820，最小的为0288，二者的差8532。重复上述过程得出8532－2358＝6174），最后总是达到卡普雷卡尔黑洞：6174。（见美国《新科学家》，1992，12，19，p38。中国《参考消息》，1993，3，14-17）
    但是，4位数以外的其它位数的数有没有“卡普雷卡尔黑洞”？
    如果有,它们是怎样的数？它们之间有没有什么规律性？
    还有没有其它更多的相关内容？
    Michael W Ecker在文中没有说到。本文就是对这些问题进行讨论。
    我把以上计算得出卡普雷卡尔常数的过程简称运算；运算达到卡普雷卡尔黑洞这个现象称归敛；其运算结果称归敛结果。以下讨论，限于自然数（正整数）。
一、4位数以外的其它位(任意位)的数都有“黑洞”——归敛结果
    我把我的运算结果，举例如下：
例1－1  如上述，所有的4位数经运算都归敛到6174。
例1－2  所有7位数经运算都归敛到数组
8，429，652
7，619，733
8，439，552
7，509，843
9，529，641
8，719，722
8，649，432
7，519，743
 
例1—3  所有10位数经运算都归敛到以下2个数和5个数组：
2个数是: 1) 9，753，086，421
      2) 6，333，176，664
   5个数组是:
1)   
8，655，264，432
6，431，088，654
8，732，087，622 

2)  
6，433，086，654 
8，332，087，662
8，653，266，432

3)
8，765，264，322
6, 543, 086, 544
9，751，088，421

4) 
9，775，084，221
9，755，084，421
8，321，088，762

5) 
8，633，086，632
8，633，266，632
6，433，266，654
4，332，087，666
8，533，176，642
7，533，086，643
8，433，086，652

 ……（略）
几个特殊情况
    一位数的归敛数是0(没有意义)。
    二位数的归敛数是9，但不是2位数。以后的讨论均不含它们。
    三位数的归敛数是495，其特殊性后面述及。
   任意n位的数各位数字相同时(各有9个,如11......1；22......2 ；99......9)，运算结果为0。可视0为它们的特殊归敛结果,这个归敛结果没有意义。

运算结论
    通过运算知道，任意N位的数经运算后都能归敛到三类结果，可能是一个数（称归敛数）；或是一个数组（称归敛组）；或若干个数和数组兼而有之。
少数归敛结果是唯一的，如3位数、4位数、7位数，其它则不是唯一的，但其个数是可以确定的有限个数。
 得到归敛结果以后，就只会在这些归敛结果里循环，“逃”不出去。
    要计算任意N位数的归敛结果，理论上必须对该N位数的所有数进行运算，实际上不可能也没有必要。分析可知，只须少量运算即可得出。例如：
5位数不必运算全部9×104 个数(10的4次方)，最多只须运算54个数。
10位数不必运算全部9×109 个数(10的9次方)，最多只须运算2001个数。
17位数不必运算全部9×1016个数(10的16次方)，最多只须运算48，049个数（其实更少），等等。
二、归敛结果之间的联系和派生现象
    归敛结果之间互相有相关关系。
1.数根和基础数根
   由运算可知：
（1）任意N位数的归敛结果都由较少的n位数的归敛结果演变而来。原n位数的归敛结果称N位的数根。
（2）一些较少n位数的归敛结果是派生所有任意N位数归敛结果的基础，称它们为基础数根。
（3）任意N位数归敛结果的基础数根都是以下8个：
1） n＝4    数字  6174
2） n＝6    数字  549 945 
3） n＝6   数组
860，832
  862，632
  642，654
  420，876
  851，742
  750，843
  840，852
4） n＝8   数字  97 508 421

5） n＝8 数组
86 526 432
64 308 654
83 208 762
 
6） n＝9   数字   864，197，532

7） n＝11   数组
86，420，987，532
96，641，975，331
88，431，976，512
87，641，975，322
86，541，975，432

8） n＝13  数组 
8，733，209，876，622
9，665，429，654，331

2.嵌入和派生
    位数较少的n位数的归敛结果，可按一定规律嵌入一些特定的数字（以下用黑体字表示）后，派生成位数较多的N位数（N＞n）的归敛结果。
     用符号K跟在嵌入数后，表示嵌入K个相同的数。如3K表示嵌入K个3，K＝5时为嵌入5个3：33333（K为≥0的任意整数）。

第一类、归敛数派生归敛数（数生数）
例2—1—1  4位归敛数6174逐次嵌入3和6这2个数，分别得到6位、8位……的归敛数。
嵌入1次成6位的归敛数：6 3 17 6 4  
嵌入2次成8位的归敛数： 6 33 17 66 4
……
嵌入n次成N位的归敛数：  6 3K 17 6K 4 
         N ＝ 4＋2 K，  6174 称为它们的数根。

例2—1—2  8位归敛数97 508 421 逐次嵌入9和0这2个数，分别得到10位、12位、14位…… 的归敛数。
嵌入1次成10位的归敛数： 9 9 750842 0 1
嵌入2次成12位的归敛数： 9 99 750842 00 1
……
嵌入n次成N位的归敛数：
       9 9K 750842 0K 1
       N ＝8＋2 K
       97 508 421称为它们的数根。

例2—1—3  8位归敛数97 508 421嵌入7，2/ 5，4/ 1，8这3对数后分别得到14位、20位…… 的归敛数。
嵌入1次成14位的归敛数：
       97 7 5 5 1 08 8 4 4 2 21
嵌入2次成20位的归敛数：
       97 77 5 55 11 08 88 44 4 22 21
……
嵌入n次成N位的归敛数： 
      97 7K 5 5K 1K 08 8K 4K 4 2K 21
       N ＝8＋6К
      97 508 421 为它们的数根。

例2—1—4  17位归敛数  98 765 420 987 543 211 逐次嵌入8，6，4，2，9，7，5，3，1这9个数后分别得到26位、35位、44位…… 的归敛数。
嵌入1次成2 6位的归敛数：
       98 8 76 6 54 4 2 2 09 9 8 7 7 5 54 3 32 1 11
嵌入2次成35位的归敛数：
       98 88 76 66 54 44 2 22 09 99 8 77 7 55 54 33 32 11 11
……
嵌入n次成N位的归敛数：
      98 8K 76 6K 54 4K 2 2K 09 9K 8 7K 7 5K 54 3K 32 1K 11
        N ＝17＋9K
      98 765 420 987 543 211 为它们的数根。

例2—1—5  3位归敛数495逐次嵌入5，9，4 （495是特例，第一次嵌入与其它数略有不同，见后述），分别得到6位、9位、12位…… 的归敛数。
嵌入1次成6位的归敛数： 5 4 9 9 4 5
以下以6位的归敛数作数根，再嵌入1次，成9位的归敛数： 5 5 499 9 4 45
……
嵌入n次成N位的归敛数：
      5 5K 49 9K 4K 5
      N ＝3＋3K 
      6位的归敛数549 945称为它们的数根。
 
第二类、由归敛数派生归敛组（数生组）
例2—2—1  8位归敛数97，508，421分别逐次嵌入数组
7，2
5，4
1，8
后，分别得到10位、12位…… 的归敛组（注：嵌入形式有别于例2—1—3）。
嵌入1次成10位的归敛组：
97 7 5084 2 21
975 5 08 4 421
975 1 08 8 421
 
嵌入2次成为12位的归敛组：
97 77 5084 22 21
975 55 08 44 421
975 11 08 88 421
……
嵌入n次成为N位的归敛组：
97 7K 5084 2K 21
975 5K 08 4K 421
975 1K 08 8K 421
N＝8+2K
97，508，421称为它们的数根。

第三类、由归敛组派生归敛组（组生组）
例2—3—1  8位数归敛组
86 526 432
64 308 654
83 208 762
各数对应逐次嵌加数组
5, 4
1, 8
7, 2
后分别得到10位、12位…… 的归敛组。
嵌入1次成10位的归敛组：
865 5 26 4 432
643 1 08 8 654
8 7 320876 2 2
 
嵌入2次成12位的归敛组：
865 55 26 44 432
643 11 08 88 654
8 77 320876 22 2
……
嵌入n次成N位的归敛组：
865 5K 26 4K 432
643 1K 08 8K 654
8 7K 320876 2K 2
 n ＝8＋2K
    原8位数归敛组
86 526 432
64 308 654
83 208 762
   就称为它们的数根。

例2—3—2   11位归敛组
96 641 975 331
88 431 976 512
87 641 975 322
86 541 975 432
86 420 987 532
    各数分别逐次嵌入8，6，4，2，9，7，5，3，1这9个数后分别得到20位、29位、38位…… 的归敛组。
嵌入1次成2 0位数的归敛组：
9 8 66 6 4 4 2 19 9 7 7 5 5 3 33 1 1
88 8 6 4 4 3 2 19 9 7 76 5 5 3 1 12
8 8 76 6 4 4 2 19 9 7 75 5 3 3 2 1 2     
8 8 6 6 5 4 4 2 19 9 7 7 5 54 3 3 1 2
8 8 6 6 4 4 2 2 09 9 8 7 7 5 5 3 3 1 2

嵌入2次成2 9位数的归敛组：
9 88 66 66 4 44 22 19 99 77 7 55 5 33 33 11 1
88 88 66 4 44 3 22 19 99 77 76 55 5 33 11 12
8 88 76 66 4 44 22 19 99 77 75 55 33 3 2 11 2    
8 88 6 66 5 4 44 22 19 99 77 7 55 54 33 3 11 2
8 88 6 66 4 44 2 22 09 99 8 77 7 55 5 33 3 11 2
……
嵌入n次成为N位的归敛：
9 8K 66 6K 4 4K 2K 19 9K 7 7K 5K 5 3K 33 1K 1
88 8K 6K 4 4K 3 2K 19 9K 7 7K 6 5K 5 3K 1K 12
8 8K 76 6K 4 4K 2K 19 9K 7 7K 5K 5 3K 32 1K 2
8 8K 6 6K 54 4K 2K 19 9K 7 7K 5K 54 3K 3 1K 2
8 8K 6 6K 4 4K 2 2K 09 9K 8 7K 7 5K 5 3K 3 1K 2
N＝11＋9К
原11位归敛组
96 641 975 331
88 431 976 512
87 641 975 322
86 541 975 432
86 420 987 532
就称为它们的数根。

第四类、由归敛组派生归敛数（组生数）
例3—1—4     17位归敛组
97 665 420 987 543 321
98 654 320 987 654 311
98 764 320 987 653 211
98 765 431 976 543 211
88 754 320 987 654 212
这个归敛组5个数中任何一个数嵌入7，2/ 5,4/ 1,8当中的任何一个数对，经运算后均得到19位归敛数 9 876 543 209 876 543 211。继续嵌加，则又成为前述第二类派生。

3.层状组数结构
   从归敛结果可以看出，它们形成了有规律的层状组数结构。
   把奇位归敛数的中间那个数称中位数，偶位的中间那两个数称中位数，中位数的前段数字称前段，后段数字称后段。
   中位数前、后相同位数上的两个数称数层，两数之和称层和。层和为8的层及其包容的所有数称数核。层和为9的层称普通层。唯有最外层的层和为10，称饱和层。
  例如  864197532，是9位数，属奇位数。9称中位数；197称数核（1+7=8），864称前段，532称后段；(8，2)称饱和层（8+2=10），(6，3)、(4，5)称普通层。
   9975084201，是10位数，属偶位数。08称中位数；08又称数核（0+8=8）。9975称前段，4201称后段；(9，0)、(7，2)、(5，4)称普通层，(9，1)称饱和层（9+1=10）。
  555499994445，是12位，属偶位数。99为中位数； 499994称数核（4+4=8）。555称前段，445称后段； (5，4)、(5，4)称普通层，(5，5)称饱和层（5+5=10）。
  总之，所有的归敛结果都呈层状组数结构。唯有 ① 归敛数495和 ② 5位数归敛组之一的
59，994 
53，995
尚未形成完整的层状组数结构。
   对于任意N位数，层状组数结构是该N位数运算中嵌加和分类的依椐 （分类的分析及分类方法本文从略,笔者在另外文章叙述）。

4.派生归敛结果的嵌数规律
（1）嵌入数
  嵌入的数是特定的，共有3类。
第一类是数对型，有两对： 9/ 0   3/ 6
第二类是数组型，有一组： 
7，2
5，4
1，8

第三类是数字型，有两个：
1） 864297531 
2） 594

（2）嵌入规定
1）嵌入
数对型嵌入：(9,0)、(3,6)的奇数9，3嵌入前段，偶数0，6嵌入后段。见例2—1—1， 2—1—2。
数组型嵌入：
7，2
5，4
1，8
    其中的奇数7，5，1嵌入前段，偶数2，4，8嵌入后段。见例2—1—3， 2—2—1。

数字型嵌入：
1）864297531
9嵌入数核，8642分开嵌入前段，7531分开嵌入后段。见例2—1—4，2—3—2。
2）594
  594唯一能嵌入位数是N＝3＋3K 这类数。9嵌入数核，5嵌入前段，4嵌入后段。见例2—1—5。
2）饱和层外不能嵌加。3位归敛数的最外层层和为9，尚未“饱和”，视为可嵌加，如例2—1—5。嵌加一次成6位数，最外层饱和了，以后则按上述规律派生。所以本文把549945而不是495作为基础数根。

3）数组嵌入顺序
7，2
5，4
1，8
必须“配套”嵌入并按顺序:
   (7，2)→(5，4)→(1，8)；或 (5，4)→(1，8)→(7，2)； 或 (1,8) →(7,2) →(5,4)。
以8位数归敛组
86 526 432
64 308 654
83 208 762
为例说明。
A，各数均可嵌入（3，6）K，得N ＝8＋2K位数的归敛组。
865 3K 26 6K 432
643 3K 08 6K 654
83 3K 2087 6K 62

B, 各数可对应嵌入
    (7，2) K
    (5，4 )K， 
    (1，8) K
  得N ＝8＋2K位数的归敛组。
8 7K 652643 2K 2
6 5K 430865 4K 4
832 1K 08 8K 762

C，各数也可以对应嵌入
(5，4)K
(1，8)K，
(7，2)K
    如例2—3—1。

D，不能嵌入
1,8
7,2
5,4
  因为7，2嵌入时已在对应数64 308 654的饱和层外了。
E，各数均不能嵌入（9，0 ），因（9，0）已在数组3个数的饱和层外了。

三、归敛结果的特点
    通过以上的讨论，可以总结归敛结果的特点如下。
1.归敛结果的各数字之和是9的整数倍。
2.同一个归敛组中各数可按顺序递进交换。但是递进顺序不能打乱。
3.除了位数N＝3＋3k类嵌加594的情况之外，嵌加数(3，6)、(9，0)、864297531和数组7，2/ 5，4/ 1，8可以分别或联合嵌加入（按上述嵌入规定）基础数根，得到任意N位数的归敛结果。
四、结论
    由本文以上的讨论，可以提出以下结论：任意N位的数，经过卡普雷卡尔运算都能得到具有前述特点的归敛结果。
    还可以提出如下可能性：
1.在确定数根以后，不经运算就能设计出（即直接派生出）任意指定位数（符合上述规律性）的某些归敛结果。
2.给出任意位数的归敛结果，可以推算出其前的较少位数或其后的较多位数的归敛结果的派生路线、派生结果和数根。

注：
    本文以上的讨论，笔者还推及负整数，正、负实小数（除无限小数），也获成功（但未经严密验证）
    本文极个别数字可能有笔误，但是全部运算均获成功。供有兴趣者共同探索并请指正
    本文的探讨，源于美国杂志《新科学家》，1992.12.19

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